Aménagé dans une demeure ancienne, face à la fontaine du Plô, en contrebas de la place de l'église, ce musée abrite, sur plusieurs niveaux, une riche collection lapidaire (chapiteaux, statuaire...) et des objets d'art en provenance de l'abbaye ou de l'église abbatiale. Il doit son nom au docteur Joseph Fau, maire de Conques de 1953 à 1977.
Au rez-de-chaussée, le visiteur découvrira notamment des statues en bois peint et doré (XVe - XVIIe siècle), d'une grande qualité d'exécution : Annonciation, Vierges à l'Enfant, Christ provenant d'une Mise au tombeau, saint Dominique, saint Marcel... ; un lutrin de chœur (XVIIe siècle), un tableau représentant saint Roch, réalisé en 1843 par le peintre ruthénois Delmas (l'intérêt de cette toile réside dans la représentation en fond de scène, de l'abbatiale Sainte-Foy dépourvue de ses deux tours de façade), etc.
Dans les différentes salles de l'étage, sont rassemblés essentiellement des éléments de mobilier ou de décoration, datés du XVIIe ou du XVIIIe siècle : grande armoire à chasubles, avec son décor exotique sculpté sur les portes, boiserie de cheminée accompagnée de toiles peintes, coffre, table, lit à baldaquin constitué d'éléments provenant d'anciens retables (à noter sur l'un des panneaux, daté de 1644, la signature du maître menuisier de Conques, Guillaume Chirac). Les pièces majeures de cet étage sont les sept tapisseries confectionnées, peu avant 1634, dans les manufactures de Felletin (Haute-Marche). Elles représentent la vie de Marie-Madeleine et se trouvaient, sans doute, à l'origine, dans la salle capitulaire de l'abbaye.
Dans une pièce, en sous-sol, ont été rassemblés des chapiteaux et des tailloirs romans (XIe-XIIe siècles) provenant de l'ancien cloître, des inscriptions lapidaires, des éléments de l'ancien dallage roman de l'abbatiale qui se caractérisait par des incrustations de marbre et de porphyre, des fragments de chancel plus anciens appartenant à l'église du Xe siècle, etc.
